حل فعالیت صفحه 40 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 40 ریاضی دهم - رابطه شیب و تانژانت سلام! این فعالیت یک تمرین بسیار مهم و مفهومی است که ارتباط بین دو مفهوم کلیدی در هندسه تحلیلی و مثلثات، یعنی **شیب خط** و **تانژانت زاویه** را نشان می‌دهد. ### **گام اول: مشخص کردن مختصات نقاط** با نگاه به نمودار و معادله‌ی خط $y = 2x - 4$، مختصات نقاط $A$، $B$ و $C$ را از روی محور مختصات پیدا می‌کنیم. 1. **نقطه A (محل برخورد خط با محور x):** $y=0$ $$0 = 2x - 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \quad \Rightarrow \mathbf{A(2, 0)}$$ 2. **نقطه B (روی خط):** طبق تصویر، فرض می‌کنیم $x=3$. $$y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 \quad \Rightarrow \mathbf{B(3, 2)}$$ 3. **نقطه C (روی خط):** طبق تصویر، فرض می‌کنیم $x=5$. $$y = 2(5) - 4 = 10 - 4 = 6 \quad \Rightarrow \mathbf{C(5, 6)}$$ * پای عمودها: $E(3, 0)$ و $F(5, 0)$. --- ### **الف) محاسبه تانژانت زاویه‌ی $\alpha$** زاویه‌ی $\alpha$ همان **زاویه‌ی شیب خط** است (زاویه‌ای که خط با جهت مثبت محور $x$ها می‌سازد). برای محاسبه $\tan \alpha$ از مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\triangle BHC$ (که $H$ نقطه‌ای با مختصات $(3, 6)$ است، یا به طور دقیق‌تر، مثلث قائم‌الزاویه ساخته شده از جابجایی افقی و عمودی بین $B$ و $C$) استفاده می‌کنیم. $$\tan \alpha = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}} = \frac{CH}{BH}$$ * **تفاضل عرض‌ها (ضلع مقابل $CH$):** $y_C - y_B = 6 - 2 = 4$ * **تفاضل طول‌ها (ضلع مجاور $BH$):** $x_C - x_B = 5 - 3 = 2$ $$\tan \alpha = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$$ **پاسخ الف:** $\tan \alpha = 2$ --- ### **ب) پیدا کردن شیب خط** شیب خطی که از دو نقطه‌ی $B(x_B, y_B)$ و $C(x_C, y_C)$ می‌گذرد، با فرمول زیر محاسبه می‌شود: $$\text{شیب خط} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{6 - 2}{5 - 3}$$ **تکمیل جاهای خالی (ب):** $$\text{شیب خط} = \frac{\text{تفاضل عرض‌ها}}{\text{تفاضل طول‌ها}} = \frac{\mathbf{6 - 2}}{\mathbf{5 - 3}} = \mathbf{2}$$ **توجه:** چون معادله خط $y = 2x - 4$ است، شیب خط از روی معادله نیز برابر با $\mathbf{2}$ است. --- ### **پ) نتیجه‌گیری از مقایسه‌ی قسمت (الف) و (ب)** * **نتیجه‌ی الف:** $\tan \alpha = 2$ * **نتیجه‌ی ب:** $\text{شیب خط} = 2$ **نتیجه‌گیری:** $\mathbf{\text{شیب خط} = \tan \alpha}$ **توضیح:** نتیجه‌ای که می‌گیریم این است که **شیب هر خط** (که نشان‌دهنده‌ی تندی یا راستای خط است)، برابر با **تانژانت زاویه‌ای** است که آن خط با **جهت مثبت محور $x$ها** می‌سازد. این یک حقیقت بنیادین در هندسه تحلیلی و مثلثات است؛ زیرا شیب خط ($rac{\Delta y}{\Delta x}$) تعریفش دقیقاً همان تعریف تانژانت ($rac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}$) در مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که با جابه‌جایی عمودی و افقی بین دو نقطه ایجاد می‌شود.